题目内容

已知函数f(x)=ax+
b
x-1
-a(a∈R,a≠0)
在x=3处的切线方程为(2a-1)x-2y+3=0
(1)若g(x)=f(x+1),求证:曲线g(x)上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值;
(2)若f(3)=3,是否存在实数m,k,使得f(x)+f(m-x)=k对于定义域内的任意x都成立;
(1)因为f(x)=a-
b
(x-1)2
,所以f(3)=a-
b
4
=
2a-1
2
,b=2(2分)
g(x)=f(x+1)=ax+
2
x
.

设g(x)图象上任意一点P(x0,y0),因为g(x)=a-
2
x2

所以切线方程为y-(ax0+
2
x0
)=(a-
2
x20
)(x-x0).
(4分)
令x=0,得y=
4
x0
;再令y=ax,得x=2x0
故三角形面积S=
1
2
•|
4
x0
|•|2x0|=4
,即三角形面积为定值.(6分)

(2)由f(3)=3得a=1,f(x)=x+
2
x-1
-1

假设存在m,k满足题意,则有x-1+
2
x-1
+m-x-1+
2
m-x-1
=k

化简,得
2(m-2)
(x-1)(m-x-1)
=k+2-m
对定义域内任意x都成立,(8分)
故只有
m-2=0
k+2-m=0.
解得
m=2
k=0.

所以存在实数m=2,k=0,使得f(x)+f(m-x)=k对定义域内的任意x都成立.(12分).
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