题目内容
已知函数f(x)=ax+
-a(a∈R,a≠0)在x=3处的切线方程为(2a-1)x-2y+3=0
(1)若g(x)=f(x+1),求证:曲线g(x)上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值;
(2)若f(3)=3,是否存在实数m,k,使得f(x)+f(m-x)=k对于定义域内的任意x都成立;
b |
x-1 |
(1)若g(x)=f(x+1),求证:曲线g(x)上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值;
(2)若f(3)=3,是否存在实数m,k,使得f(x)+f(m-x)=k对于定义域内的任意x都成立;
(1)因为f′(x)=a-
,所以f′(3)=a-
=
,b=2(2分)
又g(x)=f(x+1)=ax+
.
设g(x)图象上任意一点P(x0,y0),因为g′(x)=a-
,
所以切线方程为y-(ax0+
)=(a-
)(x-x0).(4分)
令x=0,得y=
;再令y=ax,得x=2x0,
故三角形面积S=
•|
|•|2x0|=4,即三角形面积为定值.(6分)
(2)由f(3)=3得a=1,f(x)=x+
-1
假设存在m,k满足题意,则有x-1+
+m-x-1+
=k,
化简,得
=k+2-m对定义域内任意x都成立,(8分)
故只有
解得
所以存在实数m=2,k=0,使得f(x)+f(m-x)=k对定义域内的任意x都成立.(12分).
b |
(x-1)2 |
b |
4 |
2a-1 |
2 |
又g(x)=f(x+1)=ax+
2 |
x |
设g(x)图象上任意一点P(x0,y0),因为g′(x)=a-
2 |
x2 |
所以切线方程为y-(ax0+
2 |
x0 |
2 |
x20 |
令x=0,得y=
4 |
x0 |
故三角形面积S=
1 |
2 |
4 |
x0 |
(2)由f(3)=3得a=1,f(x)=x+
2 |
x-1 |
假设存在m,k满足题意,则有x-1+
2 |
x-1 |
2 |
m-x-1 |
化简,得
2(m-2) |
(x-1)(m-x-1) |
故只有
|
|
所以存在实数m=2,k=0,使得f(x)+f(m-x)=k对定义域内的任意x都成立.(12分).
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=a-
,若f(x)为奇函数,则a=( )
1 |
2x+1 |
A、
| ||
B、2 | ||
C、
| ||
D、3 |