Question

已知函数f（x）=x²-2|x|-1．
（1）证明函数f（x）是偶函数；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f（x）的图象．
（3）根据图象求该函数的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据函数的定义域为R，且满足f（-x）=f（x），可得f（x）是偶函数．
（2）根据函数的解析式，画出函数f（x）图象如图所示．
（3）根据函数的图象可得，f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵x∈R，f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）∵f(x)=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

，函数f（x）图象如图所示．
（3）根据函数的图象可得，f（x）的单调增区间为[-1，0]，[1，+∞）；
f（x）的单调减区间为（-∞，-1]，[0，1]．

点评：本题主要考查函数的图象的作法，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．