Question

已知函数f（x）=x³-x²+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2。
（I）求实数a，b的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+是[2，+∞）上的增函数。
 （i）求实数m的最大值；
 （ii）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由，f′（x）=x²-2x+a及题设得
即；
（Ⅱ）（i）由得
∵g（x）是[2，+∞）上的增函数
∴g'（x）≥0在[2，+∞）上恒成立
即在恒成立
设（x-1）²=t
∵x∈[2，+∞）
∵t∈[1，+∞）
即不等式在恒成立
所以m≤t²+2t在[1，+∞）上恒成立
令y=t²+2t，t∈[1，+∞）
可得y_min=3，故m≤3，即m的最大值为3；
（ii）由（i）得
将函数g（x）的图像向左平移1个长度单位，再向下平移个长度单位，所得图像相应的函数解析式为
x∈（-∞，0）（0，+∞）
由于φ（-x）=-φ（x），所以φ（x）为奇函数，故φ（x）的图象关于坐标原点成中心对称，由此即得，函数g（x）的图象关于点成中心对称
这也就表明，存在点使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等。