题目内容
已知函数f(x)=x3-x2+ax+b的图象在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2。
(I)求实数a,b的值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+
是[2,+∞)上的增函数。
(i)求实数m的最大值;
(ii)当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由。
(I)求实数a,b的值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+

(i)求实数m的最大值;
(ii)当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由。
解:(Ⅰ)由,f′(x)=x2-2x+a及题设得
即
;
(Ⅱ)(i)由
得

∵g(x)是[2,+∞)上的增函数
∴g'(x)≥0在[2,+∞)上恒成立
即
在
恒成立
设(x-1)2=t
∵x∈[2,+∞)
∵t∈[1,+∞)
即不等式
在
恒成立
所以m≤t2+2t在[1,+∞)上恒成立
令y=t2+2t,t∈[1,+∞)
可得ymin=3,故m≤3,即m的最大值为3;
(ii)由(i)得
将函数g(x)的图像向左平移1个长度单位,再向下平移
个长度单位,所得图像相应的函数解析式为
x∈(-∞,0)
(0,+∞)
由于φ(-x)=-φ(x),所以φ(x)为奇函数,故φ(x)的图象关于坐标原点成中心对称,由此即得,函数g(x)的图象关于点
成中心对称
这也就表明,存在点
使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等。

即

(Ⅱ)(i)由



∵g(x)是[2,+∞)上的增函数
∴g'(x)≥0在[2,+∞)上恒成立
即


设(x-1)2=t
∵x∈[2,+∞)
∵t∈[1,+∞)
即不等式


所以m≤t2+2t在[1,+∞)上恒成立
令y=t2+2t,t∈[1,+∞)
可得ymin=3,故m≤3,即m的最大值为3;
(ii)由(i)得

将函数g(x)的图像向左平移1个长度单位,再向下平移


x∈(-∞,0)

由于φ(-x)=-φ(x),所以φ(x)为奇函数,故φ(x)的图象关于坐标原点成中心对称,由此即得,函数g(x)的图象关于点

这也就表明,存在点


练习册系列答案
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π |
2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
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