Question

设Q是圆O′：（x+1）²+y²=8上的动点，F是抛物线y²=4x的焦点，线段FQ的垂直平分线l交半径O′Q于点P．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）斜率为k的直线l过点（0，

k2+1

）且与轨迹C交于不同的两点A，B，记△AB0的面积为S=f（k），若

OA

 • 

OB

=m（

3

5

≤m≤

3

4

），求f（k）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得|PO′|+|PQ|=R，又|PQ|=|PF|，所以得到P点的轨迹为椭圆，且可知a，c的值，代入b²=a²-c²求出b的值，则椭圆方程可求；
（2）设出直线方程，为方便可令t=

k2+1

，和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程，得到直线和椭圆两个焦点的横坐标的和与积，代入数量积

OA

•

OB

=m后得到k与m的关系，利用原题给出的m的范围求得k的范围，
由弦长公式求出|AB|，由点到直线的距离公式求出O到直线的距离，代入三角形的面积公式后化为关于k的函数式，化简整理后利用单调性求最值．

解答：解：（1）O′（-1，0），半径R=2

2

，因为线段FQ的垂直平分线l交半径O′Q于点O，连结PF，
所以|PQ|=|PF|，|PO′|+|PQ|=R，故|PO′|+|PF|=2

2

(2

2

＞2=|O′F|)，
由椭圆的定义，点P的轨迹是以O′，F为焦点的椭圆，设其方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则a=

2

，c=1，b²=a²-c²=1．
故点P的轨迹C的方程是

x2

2

+y2=1；
（2）设斜率为k的直线的方程为y=kx+t，其中t=

k2+1

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
由

y=kx+t x2 2 +y2=1

，消去y得（2k²+1）x²+4ktx+2t²-2=0．
又△=8k²＞0（k≠0），所以x1+x2=-

4kt

2k2+1

，x1x2=

2t2-2

2k2+1

．
则

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+t)(kx2+t)
=(1+k2)x1x2+tk(x1+x2)+t2
=

k2+1

2k2+1

．
故

k2+1

2k2+1

=m．因为

3

5

≤m≤

3

4

，所以

3

5

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

，
所以

1

2

≤k2≤2，
由弦长公式得：|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2k2

2k2+1

．
原点O到直线y=kx+t的距离d=

|t|

k2+1

=

k2+1

k2+1

=1．
所以f(k)=S=

1

2

|AB|•d=

k2+1

•

2k2

2k2+1

=

2k2(k2+1) (2k2+1)2

=

1 2 [1- 1 (2k2+1)2 ]

．
在[

1

2

，2]上是k²的增函数，故当k2=

1

2

时，f(k)min=

6

4

；当k²=2时，f(x)max=

2 3

5

．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数量积在解题中的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，经常利用直线与圆锥曲线联立，借助于一元二次方程的根与系数关系解题，避免了更为繁杂的运算，是解决该类问题的常用方法，考查了学生的计算能力，属压轴题．