题目内容

过点Q (-2,
21
)
作圆O:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4.
(1)求r的值;
(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设
OK
=
OA
+
OB
,求|
OK
|
的最小值(O为坐标原点).
(3)从圆O外一点M(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为T,N(2,3),且有|MT|=|MN|,求|MT|的最小值,并求此时点M的坐标.
分析:(1)利用圆的切线的性质,结合勾股定理,可求r的值;
(2)设出直线方程,利用
OK
=
OA
+
OB
,表示出
OK
,求出模长,利用基本不等式即可求得结论.
(3)由题意画出过N作圆的切线,NT的中点就是所求M,求出切点坐标即可取得M点的坐标.
解答:解:(1)圆C:x2+y2=r2(r>0)的圆心为O(0,0),则
∵过点Q(-2,
21
) 作圆C:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4
∴r=OD=
QO2-QD2
=
4+21-16
=3;
(2)设直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0,则A(a,0),B(0,b),
OK
=
OA
+
OB
,∴
OK
=(a,b),∴|
OK
|=
a2+b2

∵直线l与圆C相切,∴
|-ab|
a2+b2
=3
∴3
a2+b2
=ab≤
a2+b2
2

∴a2+b2≥36
∴|
OK
|≥6
当且仅当a=b=3
2
时,|
OK
|的最小值为6.
(3)∵切线MN⊥OT,∴|MT|2=|MO|2-9,又|MN|=|MT|,∴|MN|2=|MO|2-9,
M(x1,y1),过N(2,3)的直线的斜率为k,所以NT的方程为:y-3=k(x-2),
与圆的方程x2+y2=9联立,
y-3=k(x-2)
x2+y2=9
,消去y可得:(k2+1)x2+2(3-2k)kx+4k2-12k=0,
因为直线与圆相切,所以△=0,即[2(3-2k)k]2-4(k2+1)(4k2-12k)=0,
化简得:5k2+12k=0,解得k=0或k=-
12
5

当k=0时,x=0,此时T(0,3),当k=
12
5
时,x=
36
13
,此时T(
31
13
27
13

∴满足条件的M点坐标为(1,3)或(
31
13
27
13
点评:本题考查圆的切线的性质,考查向量知识的运用,两直线垂直的性质,点到直线的距离公式应用,以及求两直线的交点坐标的方法.
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