题目内容

已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线依次交抛物线的准线于A₁，B₁两点，Q是A₁B₁的中点，连AQ、BQ、FA₁、FB₁、FQ有下列命题：
①点Q是△A₁FB₁的外心；
②△AQB的外心有可能在此抛物线上；
③AQ、FA₁、x轴相交于一点；
④线段AA₁、BB₁、FQ的长度满足：FQ²=BB₁•AA₁
上述命题正确的有________（写出所有真命题的序号）

①③④
分析：①只需要说明A₁F⊥FB₁即可；②由于易得AQ⊥QB，故△AQB的外心是线段AB的中点；③④取特殊位置AB∥x轴，可知结论正确．
解答：取特殊位置AB∥x轴①则 $\text{[math]}$ ，故有A₁F⊥FB₁，所以点Q是△A₁FB₁的外心；② $\text{[math]}$ 得AQ⊥QB，故△AQB的外心是线段AB的中点；③由于此时AFQA₁是矩形，故正确；④FQ=BB₁=AA₁=p，显然FQ²=BB₁•AA₁
故答案为：①③④．
点评：本题取特殊位置，简化了解题，是解决填空题的很好的策略．

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（1）求a的取值范围；
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2p

p

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AB的长度是

A.2p

B.p

C.

D.