Question

8．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥面ABC，AC=a，PA=$\sqrt{2}$a．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求二面角A-PB-C的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形性质得BC⊥AC，线面垂直得BC⊥PA，由此能证明PC⊥BC．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C点作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量和平面PBC的法向量，由此利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值的大小．

解答 （1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
∵PA⊥面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA，
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BC．
（2）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C点作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
则由已知得A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，0，0），P（a，0，$\sqrt{2}$a），
$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{PB}$=（-a，a，-$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{PC}$=（-a，0，-$\sqrt{2}a$），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-\sqrt{2}az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=-ax+ay-\sqrt{2}az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=-a{x}_{1}+a{y}_{1}-\sqrt{2}az=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-a{x}_{1}-\sqrt{2}a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${x}_{1}=\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，0，-1），
设二面角A-PB-C的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-PB-C的余弦值的大小为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．