Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为

6

．
（I）求a，b；
（II）设过F₂的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF₁|=|BF₁|，证明：|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比数列．

Answer 1

分析：（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线y=2与C的两个交点间的距离为

6

建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将其与双曲线C的方程联立，得出x₁+x₂=

6k2

k2-8

，x1x2=

9k2+8

k2-8

，再利用|AF₁|=|BF₁|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系x1+x2=-

2

3

，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF₂|、|AB|、|BF₂|，再利用等差数列的性质进行判断即可证明出结论．

解答：解：（I）由题设知

c

a

=3，即

b2+a2

a2

=9，故b²=8a²
所以C的方程为8x²-y²=8a²
将y=2代入上式，并求得x=±

a2+ 1 2

，
由题设知，2

a2+ 1 2

=

6

，解得a²=1
所以a=1，b=2

2

（II）由（I）知，F₁（-3，0），F₂（3，0），C的方程为8x²-y²=8    ①
由题意，可设l的方程为y=k（x-3），|k|＜2

2

代入①并化简得（k²-8）x²-6k²x+9k²+8=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁≤-1，x₂≥1，x₁+x₂=

6k2

k2-8

，x1x2=

9k2+8

k2-8

，于是
|AF₁|=

(x1+3)2+y1 2

=

(x1+3)2+8x1 2-8

=-（3x₁+1），
|BF₁|=

(x2+3)2+y2 2

=

(x2+3)2+8x2 2-8

=3x₂+1，
|AF₁|=|BF₁|得-（3x₁+1）=3x₂+1，即x1+x2=-

2

3

故

6k2

k2-8

=-

2

3

，解得k2=

4

5

，从而x1x2=

9k2+8

k2-8

=-

19

9

由于|AF₂|=

(x1-3)2+y1 2

=

(x1+3)2+8x1 2-8

=1-3x₁，
|BF₂|=

(x2-3)2+y2 2

=

(x2+3)2+8x2 2-8

=3x₂-1，
故|AB|=|AF₂|-|BF₂|=2-3（x₁+x₂）=4，|AF₂||BF₂|=3（x₁+x₂）-9x₁x₂-1=16
因而|AF₂||BF₂|=|AB|²，所以|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比数列

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．