题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
为
的中点.
(1)证明:.
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由面面垂直的性质定理可得平面
,结合线面垂直的判定定理可得
平面
,由线面垂直的定义即可证明;(2)首先建立空间直角坐标系,利用向量的方法求解二面角的问题.
(1)证明:因为平面平面
,且平面
平面
=
,又
,
所以平面
,
所以.
又因为,
,
所以平面
.
又因为平面
,
所以.
(2)解:如图,设的中点为
,作
交
于
,连接
.
因为平面
,
所以平面
,由
,且
,可得
,
,
两两垂直,所以分别以
,
,
所在的直线为
,
,
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
.
所以,
,
.
设平面的一个法向量为
,
由,
,得
令,得
.
平面的一个法向量
,
所以.
由图可知,二面角的余弦值为
.
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