题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
为
的中点．
（1）证明：
．
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由面面垂直的性质定理可得
平面
，结合线面垂直的判定定理可得
平面
，由线面垂直的定义即可证明；（2）首先建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解二面角的问题.
（1）证明：因为平面
平面，且平面
平面=
，又
，
所以平面，
所以
．
又因为
，
，
所以平面．
又因为
平面，
所以
．
（2）解：如图，设的中点为
，作
交
于
，连接
．
因为平面，
所以
平面，由，且
，可得，
，
两两垂直，所以分别以，，所在的直线为
，
，
轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
．
所以
，
，
．
设平面
的一个法向量为
，
由
，
，得
令
，得
．
平面
的一个法向量
，
所以
．
由图可知，二面角
的余弦值为．
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