Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知点P在曲线xy=1（x＞0）上，点P在x轴上的射影为M．若点P在直线x-y=0的下方，则$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设点P（t，$\frac{1}{t}$），将$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$化成关于t的表达式，结合题意得t-$\frac{1}{t}$是正数，利用基本不等式可求出$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$的最小值即可．

解答 解：设点P（t，$\frac{1}{t}$），得OP²=t²+$\frac{1}{{t}^{2}}$，而OM=t，MP=$\frac{1}{t}$，
∴$\frac{O{P}^{2}}{OM-MP}$=$\frac{{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}}{t-\frac{1}{t}}$=$\frac{{（t-\frac{1}{t}）}^{2}+2}{t-\frac{1}{t}}$=（t-$\frac{1}{t}$）+$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，
∵点P在直线x-y=0的下方，且t＞0
∴t＞1，得t-$\frac{1}{t}$是正数，所以（t-$\frac{1}{t}$）+$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$≥2$\sqrt{2}$，
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题通过曲线上一个动点，求关于线段OP、OM、MP的分式的最小值，着重考查了曲线与方程、利用基本不等式求最值和简单的演绎推理等知识，属于中档题．