题目内容
已知直线y=-2x-2 |
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(1)求b的值
(2)若方程f(x)=x2+m在(0,+∞)上有两个解x1,x2.
求:①m的取值范围 ②比较x1x2+9与3(x1+x2)的大小.
分析:(1)先求出导函数f'(x),设出切点(x0,y0),然后根据在x=x0的导数等于切线的斜率,切点在切线和函数f(x)的图象上,建立方程组,解之即可求出b的值;
(2)①构造函数 h(x)=f(x)-x2-m=
x3-x2-3x-m,利用导数研究函数h(x)的单调性,转化成使h(x)图象在(0,+∞)内与x轴有两个不同的交点,建立关系式,解之即可求出m的范围.②做差比较较x1x2+9与3(x1+x2)的大小.
(2)①构造函数 h(x)=f(x)-x2-m=
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3 |
解答:解:(1)∵f(x)=
x3-bx,∴f'(x)=x2-b
设切点为(x0,y0),依题意得
解得:b=3
(2)设h(x)=f(x)-x2-m=
x3-x2-3x-m
则h'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3).
1令h'(x)=023,得x=-14或x=35在(0,3)6上,h'(x)<07,
故h(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上,h'(x)>0,
故h(x)在(3,+∞)上单调递增,
若使h(x)图象在(0,+∞)内与x轴有两个不同的交点,
则需
,∴-9<m<0
此时存在x>3时,h(x)>0,例如当x=5时,h=
-25=15-m=
-m>0.
∴①所求m的范围是:-9<m<0.
②由①知,方程f(x)=x2+m2在(0,+∞)3上有两个解x1,x2,
满足0<x1<3,x2>3,x1x2+9-3(x1+x2)=(3-x1)(3-x2)<0,
x1x2+9<3(x1+x2).
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设切点为(x0,y0),依题意得
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解得:b=3
(2)设h(x)=f(x)-x2-m=
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则h'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3).
1令h'(x)=023,得x=-14或x=35在(0,3)6上,h'(x)<07,
故h(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上,h'(x)>0,
故h(x)在(3,+∞)上单调递增,
若使h(x)图象在(0,+∞)内与x轴有两个不同的交点,
则需
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此时存在x>3时,h(x)>0,例如当x=5时,h=
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∴①所求m的范围是:-9<m<0.
②由①知,方程f(x)=x2+m2在(0,+∞)3上有两个解x1,x2,
满足0<x1<3,x2>3,x1x2+9-3(x1+x2)=(3-x1)(3-x2)<0,
x1x2+9<3(x1+x2).
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及函数与方程的综合运用等基础题知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想,属于中档题.
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练习册系列答案
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已知直线y=2x上一点P的横坐标为a,有两个点A(-1,1),B(3,3),那么使向量
与
夹角为钝角的一个充分不必要条件是( )
PA |
PB |
A、-1<a<2 | ||||||||
B、0<a<1 | ||||||||
C、-
| ||||||||
D、0<a<2 |