Question

3．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，并且对任意正整数n都有S_n+2=4S_n+3成立，则a₂的值为2或6．

Answer 1

分析 根据得出S_n+1=4S_n-1+3与S_n+2=4S_n+3两式相减得出：a_n+2=4a_n，判断公比为±2，代入S_n+2=4S_n+3求出a₁，即可得出a₂的值．

解答 解：∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n，并且对任意正整数n都有S_n+2=4S_n+3成立，
∴S_n+1=4S_n-1+3与S_n+2=4S_n+3两式相减得出：a_n+2=4a_n
即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=4，
∵等比数列{a_n}
∴q²=4，q=±2，
当q=2时，a₁×$\frac{1-{2}^{n+2}}{1-2}$=4a₁×$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+3，a₁=1，
∴a₂=2，
当q=-2时，a₁×$\frac{1-（-2）^{n+2}}{3}$=4a₁×$\frac{1-（-2）^{n}}{3}$+3，a₁=-3，
∴a₂=6，
故答案为：2或6

点评 本题考查了等比数列的性质，公式的运用，注意分类讨论，仔细化简代数式子，整体运算，属于中档题．