题目内容
【题目】在等差数列中,
,
.令
,数列
的前
项和为
.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前
项和
;
(3)是否存在正整数,(
),使得
,
,
成等比数列?若存在,求出所有的
,
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在
,
【解析】
(1)根据等差数列的通项公式求得首项的值,则易求数列
的通项公式;
(2)利用裂项法求得数列的通项公式,则易求得
;
(3)假设存在正整数,使得
成等比数列,结合等比数列的性质得到
,从而求得符合条件的
的值.
(1)设数列的公差为
,由
得
,
解得,
(2),
.
(3)由(2)知,,
,
,
假设存在正整数、
,使得
、
、
成等比数列,
则 , 即
,经化简,得
,
(*)
当时,(*)式可化为
,所以
当时,
又,
(*)式可化为
,所以此时
无正整数解.
综上可知,存在满足条件的正整数、
,此时
,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知某企业有职工5000人,其中男职工3500人,女职工1500人.该企业为了丰富职工的业余生活,决定新建职工活动中心,为此,该企业工会采用分层抽样的方法,随机抽取了300名职工每周的平均运动时间(单位:h),汇总得到频率分布表(如表所示),并据此来估计该企业职工每周的运动时间:
平均运动时间 | 频数 | 频率 |
[0,2) | 15 | 0.05 |
[2,4) | m | 0.2 |
[4,6) | 45 | 0.15 |
[6,8) | 755 | 0.25 |
[8,10) | 90 | 0.3 |
[10,12) | p | n |
合计 | 300 | 1 |
(1)求抽取的女职工的人数;
(2)①根据频率分布表,求出m、n、p的值,完成如图所示的频率分布直方图,并估计该企业职工每周的平均运动时间不低于4h的概率;
男职工 | 女职工 | 总计 | |
平均运动时间低于4h | |||
平均运动时间不低于4h | |||
总计 |
②若在样本数据中,有60名女职工每周的平均运动时间不低于4h,请完成以下2×2列联表,并判断是否有95%以上的把握认为“该企业职工毎周的平均运动时间不低于4h与性别有关”.
附:K2=,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
【题目】已知椭圆:
的焦距为
,点
在椭圆
上,且
的最小值是
(
为坐标原点).
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知动直线与圆
:
相切,且与椭圆
交于
,
两点.是否存在实数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【题目】近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了天.得到的统计数据如下表,
为收费标准(单位:元/日),
为入住天数(单位:),以频率作为各自的“入住率”,收费标准
与“入住率”
的散点图如图
x | 50 | 100 | 150 | 200 | 300 | 400 |
t | 90 | 65 | 45 | 30 | 20 | 20 |
(1)若从以上六家“农家乐”中随机抽取两家深入调查,记为“入住率”超过
的农家乐的个数,求
的概率分布列;
(2)令,由散点图判断
与
哪个更合适于此模型(给出判断即可,不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程.(
结果保留一位小数)
(3)若一年按天计算,试估计收费标准为多少时,年销售额
最大?(年销售额
入住率
收费标准
)
参考数据: