题目内容
已知函数在点处的切线方程是x+ y-l=0,其中e为自然对数的底数,函数g(x)=1nx- cx+ 1+ c(c>0),对一切x∈(0,+)均有恒成立.
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)求证:.
(Ⅰ),,;(Ⅱ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)利用导数的几何意义求、,利用导数导数法判断单调性,用函数的最值积恒成立求;(Ⅱ)构造新函数,利用导数法求的最小值,利用结合(Ⅰ)中的结论进行证明.
试题解析:(Ⅰ),,,
,. (2分)
,由于,
所以当时,是增函数,
当时,是减函数,
,
由恒成立,,即恒成立,① (4分)
令,则,
在上是增函数,上是减函数,
,即,当且仅当时等号成立 .
,
由①②可知,,所以. (6分)
(Ⅱ)证法一:所求证不等式即为.
设,,
当时,是减函数,
当时,是减函数,
,即. (8分)
由(Ⅰ)中结论②可知,,,当时,,
从而 (10分)
.
(或者也可)
即,原不等式成立. (12分)
考点:导数法判断函数的单调性,恒成立,不等式的证明.
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