题目内容
已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(
，m)，A点到抛物线焦点的距离为1．
(1)求该抛物线的方程；
(2)设M(x0，y0)为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点(x0＋2，－y0)．
，m)，A点到抛物线焦点的距离为1．(1)求该抛物线的方程；
(2)设M(x0，y0)为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点(x0＋2，－y0)．
（1）y2＝2x （2）见解析
(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由抛物线的定义可得
＋＝1，即p＝1，
∴抛物线的方程为y2＝2x．
(2)证明：由题意知，直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x＝ay＋n，代入y2＝2x得y2－2ay－2n＝0．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝2a，y1y2＝－2n，
∵MP⊥MQ，∴kMP·kMQ＝－1．
即
·
＝－1，∴(y1＋y0)(y2＋y0)＝－4．
即y1·y2＋(y1＋y2)y0＋y02＋4＝0，
即(－2n)＋2ay0＋2x0＋4＝0，即n＝ay0＋x0＋2．
∴直线PQ的方程为x＝ay＋ay0＋x0＋2，
即x＝a(y＋y0)＋x0＋2，它一定过定点(x0＋2，－y0)．
＋＝1，即p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x．
(2)证明：由题意知，直线PQ与x轴不平行，设PQ所在直线方程为x＝ay＋n，代入y2＝2x得y2－2ay－2n＝0．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝2a，y1y2＝－2n，
∵MP⊥MQ，∴kMP·kMQ＝－1．
即
·＝－1，∴(y1＋y0)(y2＋y0)＝－4．即y1·y2＋(y1＋y2)y0＋y02＋4＝0，
即(－2n)＋2ay0＋2x0＋4＝0，即n＝ay0＋x0＋2．
∴直线PQ的方程为x＝ay＋ay0＋x0＋2，
即x＝a(y＋y0)＋x0＋2，它一定过定点(x0＋2，－y0)．
练习册系列答案
相关题目
的直线与L相交于A，与C的一个交点为B，若
，则p=____ 。
上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:
上，则
的最小值为__________．
，
，
为两个定点，
是
的一条切线，若过
，
两点的抛物线以直线
＝－2y2的准线方程是 .