题目内容

已知数列{an}和{bn}，an=n，bn=2n，定义无穷数列{cn}如下：a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，an，bn，…
（1）写出这个数列{cn}的一个通项公式（不能用分段函数）
（2）指出32是数列{cn}中的第几项，并求数列{cn}中数值等于32的两项之间（不包括这两项）的所有项的和
（3）如果cx=cy（x，y∈N*，且x＜y），求函数y=f（x）的解析式，并计算cx+1+cx+3+…+cy（用x表示）
分析：（1）写出满足题意的一个通项公式即可；
（2）利用等差数列与等比数列的通项公式可确定32是数列{cn}中的第10项与第63项，采用分组求和的方法可以解决；
（3）经过推敲可以求得y=f（x）的解析式，从而计算cx+1+cx+3+…+cy．
解答：解：（1）a1，b1，a2，b2，a3，b3，…，an，bn，…
    即n，2n，n，2n，n，2n，n，2n，…
    不妨：cn= [1+(-1)n+1] •
(n+1)
4
+[1+(-1)n] •2
n
2
- 1；
    （2）32=a32=b5，b5=c10，a32=c63；
    数列{cn}中数值等于32的两项之间（不包括这两项）的所有项的和为：
    a6+a7+…+a31+b6+b7+…+b31=
26(6+31)
2
-（26-232）=481-64+232=4294967713．
（3）∵cx=cy（x，y属于正整数，且x＜y），
∴y=2(
x
2
+1)-1．
cx+1+cx+3+…+cy=
[2
x
2
-
x
2
][
x
2
+1+2
x
2
]   
2
-2(
x
2
+1)+2[2
x
2
]．
点评：本题考查数列的求和，难点在于对数列公式的推敲及其求和的思维，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}和{bn}满足：a=1，a1=2，a2＞0，bn=
a1an+1
(n∈N*)．且{bn}是以
a为公比的等比数列．
（Ⅰ）证明：aa+2=a1a2；
（Ⅱ）若a3n-1+2a2，证明数例{cx}是等比数例；
（Ⅲ）求和：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+
1
a4
+…+
1
a2n-1
+
1
a2n
．
已知数列{an}和{bn}满足a1=m，an+1=λan+n，bn=an-
2n
3
+
4
9
．
（1）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列；
（2）当λ=-
1
2
时，试判断{bn}是否为等比数列．
已知数列{an}和等比数列{bn}满足：a1=b1=4，a2=b2=2，a3=1，且数列{an+1-an}是等差数列，n∈N*，
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在k∈N*，使得ak-bk∈(
12
，3]？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=
23
an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21）其中λ为实数，且λ≠-18，n为正整数．
（Ⅰ）求证：{bn}是等比数列；
（Ⅱ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
（2011•孝感模拟）已知数列{an}和{bn}满足a1=1且bn=1-2an，bn+1=
bn
1-4 
a
2
n
．
（I）证明：数列{
1
an
}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
1
b2b3…bnbn+1 
对任意正整数n都成立的最大实数k．

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