Question

8．若x＞0，y＞0，xy=2，则$\frac{8{x}^{3}+{y}^{3}}{4{x}^{2}+{y}^{2}+8}$的最小值为1．

Answer 1

分析 由题意变形可得$\frac{8{x}^{3}+{y}^{3}}{4{x}^{2}+{y}^{2}+8}$=2x+y+$\frac{-12}{2x+y}$，由函数的性质和基本不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，xy=2，
∴$\frac{8{x}^{3}+{y}^{3}}{4{x}^{2}+{y}^{2}+8}$=$\frac{（2x）^{3}+{y}^{3}}{4{x}^{2}+{y}^{2}+4xy}$
=$\frac{（2x+y）（4{x}^{2}-2xy+{y}^{2}）}{（2x+y）^{2}}$=$\frac{4{x}^{2}-4+{y}^{2}}{2x+y}$
=$\frac{4{x}^{2}+4xy+{y}^{2}-4xy-4}{2x+y}$=$\frac{（2x+y）^{2}-12}{2x+y}$
=2x+y+$\frac{-12}{2x+y}$
当2x+y取最小值时，$\frac{-12}{2x+y}$有最小值，
即当2x+y≥2$\sqrt{2xy}$=4即2x=y时取等号，
代入计算可得最小值为4+$\frac{-12}{4}$=1
故答案为：1

点评 本题考查基本不等式求最值，变换已知式子是解决问题的关键，属中档题．