Question

8．已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log₂a（其中a＞0）．
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）设f（x）=|2x+1|-|x-1|，若不等式f（x）≤log₂a有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要求的不等式等价转化为与之等价的3个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由（1）求得f（x）的最小值为$-\frac{3}{2}$．所以若使f（x）≤log₂a有解，只需log₂a≥f（x）_min ，由此求得a的范围．

解答 解：（1）当a=4时，f（x）=|2x+1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-2，x＜-\frac{1}{2}}\\{3x，-\frac{1}{2}≤x≤1}\\{x+2，x＞1}\end{array}\right.$，
不等式即f（x）≤2，可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-x-2≤2}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤1}\\{3x≤2}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+2≤2}\end{array}\right.$③．
解①求得-4≤x＜-$\frac{1}{2}$；解②取得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{2}{3}$；解③求得x∈∅，
综上可得，不等式的解集为{x|-4≤x≤$\frac{2}{3}$}．
（2）由（1）可得$f（x）∈[{-\frac{3}{2}，+∞}）$，
即f（x）的最小值为$-\frac{3}{2}$．所以若使f（x）≤log₂a有解，只需log₂a≥f（x）_min=-$\frac{3}{2}$，
∴a≥${2}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，即a的范围为[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．