题目内容

14.△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知A=60°,a=6,现有以下判断:
①若b=$\sqrt{3}$,则B有两解;
②若$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}$=12,则△ABC的面积为6$\sqrt{3}$;
③b+c不可能等于13;
④$({\overrightarrow{{A}{B}}+\overrightarrow{{A}C}})•\overrightarrow{{B}C}$的最大值为24$\sqrt{3}$.
请将所有正确的判断序号填在横线上②③④.

分析 ①若b=$\sqrt{3}$<a=6,A=60°,则B只有一解,为锐角,即可判断出正误;
②若$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}$=12,可得cbcos60°=12,解得bc,可得S△ABC=$\frac{1}{2}bcsin6{0}^{°}$,即可判断出正误;
③利用余弦定理与基本不等式的性质可得62=b2+c2-2bccos60°≥(b+c)2-3×$(\frac{b+c}{2})^{2}$,解出即可判断出正误;
④由正弦定理可得:b=$4\sqrt{3}sinB$,c=$4\sqrt{3}sinC$,代入化简为$({\overrightarrow{{A}{B}}+\overrightarrow{{A}C}})•\overrightarrow{{B}C}$=$(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})$•$(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$=b2-c2)=$24\sqrt{3}sin(2C+6{0}^{°})$,即可判断出正误.

解答 解:①若b=$\sqrt{3}$<a=6,A=60°,则B只有一解,为锐角,因此不正确;
②∵若$\overrightarrow{{A}{B}}•\overrightarrow{{A}C}$=12,∴cbcos60°=12,解得bc=24,∴S△ABC=$\frac{1}{2}bcsin6{0}^{°}$=6$\sqrt{3}$,正确;
③∵62=b2+c2-2bccos60°≥(b+c)2-3×$(\frac{b+c}{2})^{2}$,解得b+c≤12,当且仅当b=c=6时取等号,∴b+c的最大值为12,因此不可能等于13,正确.
④由正弦定理可得:$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=4\sqrt{3}$,∴b=$4\sqrt{3}sinB$,c=$4\sqrt{3}sinC$,$({\overrightarrow{{A}{B}}+\overrightarrow{{A}C}})•\overrightarrow{{B}C}$=$(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})$•$(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$=${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$=b2-c2=48sin2B-48sin2C=24(1-cos2B)-24(1-cos2C)=24cos2C-24cos(240°-2C)=$24\sqrt{3}sin(2C+6{0}^{°})$≤24$\sqrt{3}$,因此正确.
综上可得:只有②③④正确.
故答案为:②③④.

点评 本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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