题目内容
已知四棱锥P-ABCD的正视图是一个底边长为4,腰长为3的等腰三角形,如图分别是四棱锥P-ABCD的侧视图和俯视图.
(1)求证:AD⊥PC;
(2)求四棱锥P-ABCD的侧面PAB的面积.
(1)见解析(2)6
【解析】(1)证明:依题意,可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E,连接PE,则PE⊥平面ABCD.
∵AD?平面ABCD,
∴AD⊥PE.
∵AD⊥CD,CD∩PE=E,CD?平面PCD,PE?平面PCD,
∴AD⊥平面PCD.
∵PC?平面PCD,
∴AD⊥PC.
(2)依题意,在等腰三角形PCD中, PC=PD=3,DE=EC=2,
在Rt△PED中,PE=.
过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接PF,
∵PE⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,
∴AB⊥PE.
∵EF?平面PEF,PE?平面PEF,EF∩PE=E,
∴AB⊥平面PEF.
∵PF?平面PEF,
∴AB⊥PF,
依题意得EF=AD=2.
在Rt△PEF中,PF==3,
∴△PAB的面积为S=·AB·PF=6.
∴四棱锥P-ABCD的侧面PAB的面积为6.
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