题目内容
设抛物线C:y=x2,F为焦点,l为准线,准线与y轴交点为H
(1)求|FH|;
(2)过点H的直线与抛物线C交于A,B两点,直线AF与抛物线交于点D.
①设A,B,D三点的横坐标分别为x1,x2,x3,计算:x1•x2及x1•x3的值;
②若直线BF与抛物线交于点E,求证:D,E,H三点共线.
(1)求|FH|;
(2)过点H的直线与抛物线C交于A,B两点,直线AF与抛物线交于点D.
①设A,B,D三点的横坐标分别为x1,x2,x3,计算:x1•x2及x1•x3的值;
②若直线BF与抛物线交于点E,求证:D,E,H三点共线.
分析:(1)利用抛物线方程及定义,可得结论;
(2)①设出直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理,可得结论;
②证明kDE=kEH,即可得到D,E,H三点共线.
(2)①设出直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理,可得结论;
②证明kDE=kEH,即可得到D,E,H三点共线.
解答:解:(1)∵抛物线C:y=x2,F为焦点,l为准线,准线与y轴交点为H
∴|FH|=
;
(2)①设直线AB方程:y=kx-
,直线AD方程:y=kx+
由
,可得x2-kx+
=0,∴x1•x2=
由
,可得x2-kx-
=0,∴x1•x3=-
②设D(-
,
),E(-
,
),则kDE=
=-
-
,
kEH=
=-
-x2=-
-
∴kDE=kEH
∴D,E,H三点共线.
∴|FH|=
1 |
2 |
(2)①设直线AB方程:y=kx-
1 |
4 |
1 |
4 |
由
|
1 |
4 |
1 |
4 |
由
|
1 |
4 |
1 |
4 |
②设D(-
1 |
4x1 |
1 |
16x12 |
1 |
4x2 |
1 |
16x22 |
| ||||
-
|
1 |
4x2 |
1 |
4x1 |
kEH=
-
| ||||
|
1 |
4x2 |
1 |
4x2 |
1 |
4x1 |
∴kDE=kEH
∴D,E,H三点共线.
点评:本题考查抛物线的定义与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

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