题目内容

设抛物线C:y=x2,F为焦点,l为准线,准线与y轴交点为H
(1)求|FH|;
(2)过点H的直线与抛物线C交于A,B两点,直线AF与抛物线交于点D.
①设A,B,D三点的横坐标分别为x1,x2,x3,计算:x1•x2及x1•x3的值;
②若直线BF与抛物线交于点E,求证:D,E,H三点共线.
分析:(1)利用抛物线方程及定义,可得结论;
(2)①设出直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理,可得结论;
②证明kDE=kEH,即可得到D,E,H三点共线.
解答:解:(1)∵抛物线C:y=x2,F为焦点,l为准线,准线与y轴交点为H
∴|FH|=
1
2

(2)①设直线AB方程:y=kx-
1
4
,直线AD方程:y=kx+
1
4

y=x2
y=kx-
1
4
,可得x2-kx+
1
4
=0,∴x1•x2=
1
4

y=x2
y=kx+
1
4
,可得x2-kx-
1
4
=0,∴x1•x3=-
1
4

②设D(-
1
4x1
1
16x12
),E(-
1
4x2
1
16x22
),则kDE=
1
16x22
-
1
16x12
-
1
4x2
+
1
4x1
=-
1
4x2
-
1
4x1

kEH=
-
1
4
-
1
16x22
1
4x2
=-
1
4x2
-x2
=-
1
4x2
-
1
4x1

∴kDE=kEH
∴D,E,H三点共线.
点评:本题考查抛物线的定义与性质,考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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