Question

如图，设抛物线C：y=x²的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．则△APB的重心G的轨迹方程为

 

．

Answer 1

分析：欲求轨迹方程，可寻找被动点M的坐标（x，y）与主动点N的坐标（x₀，y₀）之间的关系，并用x，y表示x₀，y₀，再代入曲线C₀的方程即可；此法为“参数法”的一种，借助M、N两点坐标之间的关系及曲线C₀的方程消去两个参数x₀，y₀．

解答：解：设切点A、B坐标分别为（x₀，x₀²）和（x₁，x₁²）（x₁≠x₀），
∵y′=2x，∴两切线斜率分别为：2x₀和2x₁，
于是：切线AP的方程为：2x₀x-y-x₀²=0
切线BP的方程为：2x₁x-y-x₁²=0
解得P点的坐标为：x_P=

x0+x1

2

，y_P=x₀x₁
所以△APB的重心G的坐标为x_G=

x0+x1+xP

3

=x_P，
y_G=

y0+y1+yP

3

=

x 2 0 + x 2 1 + x0x1

3

=

(x0+x1) 2-x0x1

3

=

4 x 2 P -yP

3

∴y_P=-3y_G+4x_G²，结合x_P=x_G代入点P所在直线方程，得到重心G的轨迹方程为：x-（-3y+4x²）-2=0，即y=

1

3

（4x²-x+2）．

点评：本题求轨迹的方法称为“代入法”，问题的基本结构是：动点N在已知曲线C₀上移动，动点M随之移动（伴随点），求动点M的轨迹方程．其求解可多参考本题分析中的一般解法．