Question

【题目】已知函数为上的偶函数， 为上的奇函数，且.

（1）求的解析式；

（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) 或.

【解析】试题分析：本题根据函数的奇偶性，采用方程组法求函数的解析式，把已知条件里的x替换为-x，利用函数的奇偶性，得出一个新的关系式，两式联立，解出函数f(x)和g(x)的解析式，写出函数h(x)，令h(x)=0，转化为方程只有一根，利用换元法转化为二次方程只有一个正根，包括一个正根一个负根及两个相等正根两种情况，分别按要求解出a的范围.

试题解析：

（1）①

.

②

由①②得：

，

由（1）可得：

在上只有一个零点

只有一个实数根

即只有一个实数根

令

则 只有一个正实数根

①当时， 符合题意

②当时，令

若有一正一负实数根，则或，解得；

若有两个相等的正实数根，则，解得或（舍）

时， 。

综上所述： 得取值范围是或.

【点精】关于求函数的解析式问题常用方法有待定系数法、换元法、方程组法等，本题采用的方法为方程组法；当已知函数为哪种基本初等函数时，按照函数的定义形式设出函数，利用待定系数法求出解析式；当提供复合函数形式时，利用换元法求出解析式，但要注意函数的定义域；方程组法题型较少，易于掌握，函数零点问题有时化成函数图象与x轴的交点问题，有时化为方程的根的的问题，有时化为两个函数图象的交点问题，有时还需借助导数研究函数图象去解决.