Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，， 平面，，，为的中点．

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）判断直线与平面的位置关系，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）相交，理由见解析．

【解析】

（1）根据题意先证明平面，即可得到答案；

（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点且与平行的直线为轴，

建立空间直角坐标系，求出、的坐标，利用公式即可得到结果；

（3）求出平面的一个法向量与向量，根据与零的关系，作出判断.

（1）连结．

因为底面是菱形 ，所以.

又因为平面，平面，

所以.

又因为，

所以平面.

又因为平面，

所以.

（2）设，交于点.

因为底面是菱形 ，

所以，

又因为平面，

所以，.

如图，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点且与平行的直线为轴，

建立空间直角坐标系，

则，，，， ， ，.

则，，

设异面直线与所成角为，则，

，

所以与所成角的余弦值为.

（3）直线与平面相交.证明如下：

由（2）可知，，，，

设平面的一个法向量为，

则 即 令，得．

则，

所以直线与平面相交．