Question

（2011•重庆二模）已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若

1

m

+

9

n

的最小值为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：由等比数列数列的通项公式和 a₇=a₆+2a₅ 求得q=2，代入

am•an

=2a1求出m+n=4，化为“1”代入

1

m

+

9

n

，利用基本不等式求出的最小值．

解答：解：设等比数列的公比为q，由 a₇=a₆+2a₅ ，
得 a₁q⁶=a₁q⁵+2a₁q⁴，
∵等比数列{a_n}的各项均为正数，
∴q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），
∵

am•an

=2a1，∴2

m+n-2

2

=2，则m+n-2=2，
即m+n=4，且m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

9

n

=

1

4

（m+n）（

1

m

+

9

n

）=

1

4

(10+

9m

n

+

n

m

)≥

1

4

×(10+2

9

)=4，
当且仅当

9m

n

=

n

m

时取等号，
∴

1

m

+

9

n

的最小值是4，
故选C．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，指数的运算性质，注意“1”的代换问题，属于中档题题．