Question

已知函数f（x）=

lnx，   1≤x≤4 -2lnx，   1 4 ≤x≤1

，若函数F（x）=f（x）-kx在区间[

1

4

，4]上恰好有一个零点，则k的取值范围为（　　）

• A、（

  1

  e

  ，16ln2]∪{0}
• B、（

  1

  e

  ，+∞）∪{0}
• C、[

  ln2

  2

  ，16ln2）∪{0}
• D、（

  ln2

  2

  ，16ln2]∪{0}

Answer 1

分析：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=kx在区间[

1

4

，4]上恰好有一个交点，数形结合求得k的范围．

解答：解：由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=kx
在区间[

1

4

，4]上恰好有一个交点，
如图所示：显然，当k=0时，满足条件．
当y=kx和y=lnx相切时，设切点为A（x₀，lnx₀），
由导数的几何意义可得

1

x0

=

lnx0-0

x0-0

，
解得x₀=e，故切线的斜率为

1

e

．
当y=kx经过点B（

1

4

，4ln2）时，k=

4ln2

1 4

=16ln2．
故k的范围为（

1

e

，16ln2]∪{0}，
故选：A．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于基础题．