题目内容

已知=（sinx，cosx），=（cosx，-cosx），x∈R，定义函数f（x）=•-
（1） 求函数．f（x）的最小正周期，值域，单调增区间．
（2） 设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，若=（1，sinA）与=（2，sinB）
共线，求a，b的值．
【答案】分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则求出•，代入f（x）解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的值域和正弦函数的单调增区间即可求出f（x）的值域和单调增区间；
（2）由f（C）=0，代入f（x）的解析式中，根据C的范围，即可得到C的度数，然后根据平面向量平行时满足的条件以及正弦定理得到a与b的关系式，记作①，再根据余弦定理，由c和sinC的值表示出a与b的另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值．
解答：解：（1）由题意可知：f（x）=•-=sinxcosx-cos2x-
=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，
∴f（x）的最小正周期T=π，值域为[-2，0]，
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
∴f（x）的增区间为：[kπ-，kπ+]（k∈Z）；
（2）∵f（x）=sin（2x-）-1，又f（C）=0，
∴f（C）=sin（2C-）-1=0，又C为△ABC的内角，∴C=，
又=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，∴sinB=2sinA，根据正弦定理得：b=2a①，
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即3=a2+b2-ab②，
联立①②，解得a=1，b=2．
点评：此题考查学生掌握平面向量的数量积得运算法则及两向量平行时满足的条件，灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，灵活运用正弦、余弦定理化简求值，是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinx，-1），
b
=（
3
cosx，-
1
2
），函数f（x）=（
a
+
b
）•
a
-2．
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2
3
，c=4，且f（A）=1，求A，b和△ABC的面积S．
已知向量a=(sinx•
3
)，b=(cosx•si
n
2
 
x-
1
2
)，函数f（x）=a•b．
（1）求f（x）单调递增区间；
（2）将函数f（x）图象按向量c=（m，0），得到函数y=g（x）的图象，且g（x）为偶函数，求正实数m的最小值．
已知向量
m
=(sinx，
3
2
)，
n
=(cosx，-1)，设f(x)=(
m
+
n
)•
n
．
（1）求函数f（x）的表达式，并求f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=
1
2
，b=1，S△ABC=
1
2
，求a的值．
阅读下列命题
①函数f(x)=4cos(2x+
π
3
)的一个对称中心是(
-5π
12
，0)
②已知f(x)=
sinx，(sinx＜cosx)
cosx，(cosx≤sinx)
，那么函数f（x）的值域是[-1，
2
2
]
③α，β均为第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ
④f（x）=sinx，g（x）=cosx，直线x=a（a∈R）与y=f（x），y=g（x）的交点分别为M、N，那么|MN|的最大值为2．以上命题正确的有（　　）
已知
a
=(2+sinx，1)，
b
=(2，-2)，
c
=(sinx-3，1)，
d
=(1，k)，（x∈R，k∈R）
（Ⅰ）若x∈[-
π
2
，
π
2
]，且
a
∥（
b
+
c
），求x的值；
（Ⅱ）若(
a
+
d
)∥(
b
+
c
)，求实数k的取值范围．

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