题目内容
做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为
3
3
．分析：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，即h=
，要使用料最省即求全面积的最小值，而S全面积=πr2+2πrh=πr2+2πr•
=πr2+
（法一）令S=f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径
（法二）：S全面积=πr2+2πrh=πr2+2πr•
=πr2+
，利用基本不等式可求用料最小时的r
| 27 |
| r2 |
| 27 |
| r2 |
| 54π |
| r |
（法一）令S=f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径
（法二）：S全面积=πr2+2πrh=πr2+2πr•
| 27 |
| r2 |
| 54π |
| r |
解答：解：设圆柱的高为h，半径为r
则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π
h=
S全面积=πr2+2πrh=πr2+2πr•
=πr2+
（法一）令S=f（r），（r＞0）
f′(r)=2πr-
=
令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3
∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值
（法二）：S全面积=πr2+2πrh=πr2+2πr•
=πr2+
=πr2+
+
≥3
=27π
当且仅当πr2=
即r=3时取等号
当半径为3时，S最小即用料最省
故答案为：3
则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π
h=
| 27 |
| r2 |
S全面积=πr2+2πrh=πr2+2πr•
| 27 |
| r2 |
| 54π |
| r |
（法一）令S=f（r），（r＞0）
f′(r)=2πr-
| 54π |
| r2 |
| 2π(r3-27) |
| r3 |
令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3
∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值
（法二）：S全面积=πr2+2πrh=πr2+2πr•
| 27 |
| r2 |
| 54π |
| r |
=πr2+
| 27π |
| r |
| 27π |
| r |
| 3 | πr2•
| ||||
当且仅当πr2=
| 27π |
| r |
当半径为3时，S最小即用料最省
故答案为：3
点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．
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，且用料最省，则此圆柱的底面半径为____________.