题目内容
△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且cosB=
．
（1）求
+
的值；
（2）设
•
=
，求a2+c2的值．
| 4 |
| 5 |
（1）求
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanC |
（2）设
| BA |
| BC |
| 8 |
| 5 |
分析：（1）将所求的关系式
+
切化弦，再结合a、b、c成等比数列，利用正弦定理化角的弦函数即可求得答案；
（2）由
•
=
可求得accosB的值，再利用余弦定理即可求得答案．
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanC |
（2）由
| BA |
| BC |
| 8 |
| 5 |
解答：解：（1）由cosB=
，得sinB=
=
…1分
由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC…2分
于是
+
=
+
…3分
=
=
…4分
=
…5分
=
=
…6分
（2）由
•
=
得accosB=
…8分
由cosB=
，得ac=2，即b2=2…10分
由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，
∴a2+c2=b2+2accosB=
…12分]
| 4 |
| 5 |
1-(
|
| 3 |
| 5 |
由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC…2分
于是
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanC |
| cosA |
| sinA |
| cosC |
| sinC |
=
| cosAsinC+cosCsinA |
| sinAsinC |
| sin(A+C) |
| sin2B |
=
| sinB |
| sin2B |
=
| 1 |
| sinB |
=
| 5 |
| 3 |
（2）由
| BA |
| BC |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
由cosB=
| 4 |
| 5 |
由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，
∴a2+c2=b2+2accosB=
| 26 |
| 5 |
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查平面向量数量积的运算，考查分析转化与运算能力，属于中档题．
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