Question

对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：
①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；
③若对x∈R，有f（x-1）=-f（x），则2是f（x）的周期；
④函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=-1对称．
其中正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：分别利用函数的奇偶性和对称性，周期性进行判断．

解答：解：①若f（x）是奇函数，则f（x）关于点（0，0）对称，将函数f（x）向右平移1个单位得到函数f（x-1），此时函数关于（1，0）点对称，所以①正确．
②若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，将f（x-1）向左平移1个单位得到函数f（x）的图象，此时关于x=0对称，所以f（x）为偶函数，所以②正确．
③由f（x-1）=-f（x），得f（x-2）=f（x），即f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期2，所以③正确．
④函数y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称，所以④错误．
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查函数奇偶性和对称性，周期性的判断和应用，要求熟练掌握函数性质的综合应用．