题目内容

函数y=f（x）是R上的奇函数，且x＞0时f（x）=1，则函数f（x）的解析式为
 
．
分析：先根据奇函数的定义求出f（0）的值，然后设x＜0，则-x＞0，代入大于0的解析式，利用奇函数化简可求出x＜0的解析式，从而得到函数在R上的解析式．
解答：解：∵函数y=f（x）是R上的奇函数
∴f（-0）=-f（0）=f（0）即f（0）=0
设x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=1=-f（x）
即f（x）=-1
综上所述函数f（x）的解析式为f（x）=
1，x＞0
0，x=0
-1，x＜0

故答案为f（x）=
1，x＞0
0，x=0
-1，x＜0
．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数表示方法中的解析式法，属于基础题．
练习册系列答案
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16、已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，给出下列命题：
①f（3）=0；
②f（-3）=0；
③直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
④函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数．
其中所有正确命题的序号为
①②③
．（把所有正确命题的序号都填上）
16、已知函数y=f（x）是R上的奇函数且在[0，+∞）上是增函数，若f（a+2）+f（a）＞0，求a的取值范围．
21、已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=-3．
（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；
（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；
（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．
函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）是减函数，若a+b＞0，则（　　）
已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，有f（x）=
2
π
|x-π|，x＞
π
2
sinx，0≤x≤
π
2
，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）有且仅有四个不同的实数根，且α是四个根中最大根，则α=
3π
2
3π
2
．

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