题目内容
【题目】已知函数,
,
为自然对数的底数.
(Ⅰ)若为单调递增函数,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)当存在极小值时,设极小值点为
,求证:
.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)由,可令
,然后,
,然后通过讨论
的单调性,进而可以求出
的最小值,又由
为单调递增函数,即可求解.
(Ⅱ)利用导数的方法可得出,当时,
①,利用
,得
②,然后,利用①和②可得,
,进而令函数
,利用
的单调性,即可求证
.
解:(Ⅰ)由题意知,
由为增函数可知
恒成立.
设,
,
令得
,
当时,
,
单调递减,即
单调递减;
当时,
,
单调递增,即
单调递增.
故,又由
为单调递增函数,则
恒成立,因此,
,所以,
.
经检验,当时,满足题意.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知时,
.
又因为,
,且
在
上单调递减,
所以存在使得
,
,
令,
,
当时,
,
单调递增,
故,
又,
在
上单调递增,故存在
使得
.
因此有在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
故,
,利用
将代入消去
得
,
函数的对称轴为
,
故在
上单调递减,
因此,即
成立.
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