题目内容

在数列{an}中，若an2-an-12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；
②{（-1）n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；
④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为
 
．（将所有正确的命题序号填在横线上）
分析：根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义，即可判断出正确的答案．
解答：解：①因为{an}是等方差数列，所以an2-an-12=p（n≥2，n∈N×，p为常数）成立，
得到{an2}为首项是a12，公差为p的等差数列；
②因为an2-an-12=（-1）2n-（-1）2n-1=1-（-1）=2，所以数列{（-1）n}是等方差数列；
③数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，ak+1，ak+2，…，a2k，…，a3k，…
数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，…
因为ak+12-ak2=ak+22-ak+12=ak+32-ak+22=…=a2k2-ak2=p
所以（ak+12-ak2）+（ak+22-ak+12）+（ak+32-ak+22）+…+（a2k2-a2k-12）=a2k2-ak2=kp，
类似地有akn2-akn-12=akn-12-akn-22=…=akn+32-akn+22=akn+22-akn+12=akn+12-akn2=p
同上连加可得akn+12-akn2=kp，所以，数列{akn}是等方差数列；
④{an}既是等方差数列，又是等差数列，所以an2-an-12=p，且an-an-1=d（d≠0），所以an+an-1=
p
d
，联立解得an=
d
2
+
p
2d
，
所以{an}为常数列，当d=0时，显然{an}为常数列，所以该数列为常数列．
综上，正确答案的序号为：①②③④
故答案为：①②③④
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质及新定义等方差数列化简求值，是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，若a1=
1
2
，an=
1
1-an-1
（n≥2，n∈N*），则a2010等于
 
．
在数列{an}中，若an2-an-12=p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；
①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；
②{（-1）n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；
④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题序号为（　　）
A、①②③B、①②④C、①②③④D、②③④
在数列{an}中，若a1=2，an=
1
1-an-1
(n≥2，n∈N*)，则a7等于（　　）
在数列{an}中，若a1=2，a2=6，且当n∈N*时，an+2是an•an+1的个位数字，则a2011=（　　）
已知无穷数列{an}具有如下性质：①a1为正整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an+1=
a n
2
；当an为奇数时，an+1=
an+1
2
．在数列{an}中，若当n≥k时，an=1，当1≤n＜k时，an＞1（k≥2，k∈N*），则首项a1可取数值的个数为
 
（用k表示）．

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