Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）
的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=e^x；   
②f（x）=lnx；
③f（x）=x³；   
④f（x）=cos

π

2

x．
其中存在“稳定区间”的函数有

③④

（填上所有正确的序号）．

Answer 1

分析：根据“稳定区间”的定义，函数存在“稳定区间”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

解答：解：①中，若f（x）=e^x存在“稳定区间”，则e^a+1=a，e^b+1=b，即e^x=x-1有两个解，即函数y=e^x与函数y=x-1的图象有两个交点，这与函数y=e^x与函数y=x-1的图象没有交点相矛盾，故假设错误，即f（x）=e^x不存在“稳定区间”；
②中，f（x）=lnx，若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有lna=a，lnb=b，即方程lnx=x有两个解，这与y=lnx和y=x的图象没有公共点相矛盾，故不存在“稳定区间”．
③中，f（x）=x³存在“稳定区间”，如当0＜x＜1时，0＜y＜1．“稳定区间”：[0，1]；
④中，由余弦型函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f（x）=cos

π

2

x的“稳定区间”
故答案为：③④

点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键．