题目内容
22、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．求证：（1）△ABC≌△DCB；
（2）DE•DC=AE•BD．
分析：（1）根据梯形为等腰梯形推断出∠ABC=∠DCB，同时根据AB=CD，BC=CB，证明出△ABC≌△DCB．
（2）根据（1）中△ABC≌△DCB推断出∠ACB=∠DBC，同时根据AD∥BC和ED∥AC推断出∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB，进而根据相似三角形判定定理推断出△ADE∽△CBD，进而根据相似三角形的性质求得DE：BD=AE：CD，推断出DE•DC=AE•BD．
（2）根据（1）中△ABC≌△DCB推断出∠ACB=∠DBC，同时根据AD∥BC和ED∥AC推断出∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB，进而根据相似三角形判定定理推断出△ADE∽△CBD，进而根据相似三角形的性质求得DE：BD=AE：CD，推断出DE•DC=AE•BD．
解答：（1）证明：∵等腰梯形ABCD
∴∠ABC=∠DCB
又∵AB=CD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB
（2）证明：∵△ABC≌△DCB
∴∠ACB=∠DBC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠EAD=∠ABC
∵ED∥AC，∴∠EDA=∠DAC，
∴∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB，
∴△ADE∽△CBD
∴DE：BD=AE：CD
∴DE•DC=AE•BD
∴∠ABC=∠DCB
又∵AB=CD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB
（2）证明：∵△ABC≌△DCB
∴∠ACB=∠DBC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠EAD=∠ABC
∵ED∥AC，∴∠EDA=∠DAC，
∴∠EDA=∠DBC，∠EAD=∠DCB，
∴△ADE∽△CBD
∴DE：BD=AE：CD
∴DE•DC=AE•BD
点评：本题主要考查了相似三角形的判定．考查了学生对基础知识的熟练掌握．
练习册系列答案
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