Question

6．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且对任意x∈[0，2]，均有|f（x）|≤1．
（1）求证：|3a+b|≤2；
（2）当3a+b=2时，
（i）求f（x）的解析式；
（ii）设h（x）=|$\frac{2x-1}{ax+2-a}$|，若存在实数m、n（m＜n），使得h（x）在区间[m，n]上的值域为[λm，λn]，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（1）|=|a+b+c|≤1，|f（2）|=|4a+2b+c|≤1，利用绝对值不等式放缩求解证明．
（2）（i）关键二次函数的性质得出对称轴x=1，f（0）=f（2）=1，f（1）=-1，结合方程组求解即可．
（ii）画出图象h（x）=|$\frac{2x-1}{2x}$|=|1-$\frac{1}{2x}$|，转化为|1-$\frac{1}{2x}$|=λx，有2个不等根，即k（x）=λx与h（x）至少有2个不同的交点，利用方程组求解即可．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c，且对任意x∈[0，2]，均有|f（x）|≤1．
∴|f（1）|=|a+b+c|≤1，|f（2）|=|4a+2b+c|≤1，
∴|3a+b|=|（4a+2b+c）-（a+b+c）|≤|4a+2b+c|+|a+b+c|≤1+1=2，
即：|3a+b|≤2．
（2）（i）当3a+b=2时，可以根据二次函数性质得出：对称轴x=1，f（0）=f（2）=1，f（1）=-1
即-$\frac{b}{2a}$=1，a+b+c=-1，
得出a=2，b=-4，c=1，
∴f（x）=2x²-4x+1，
（ii）∵设h（x）=|$\frac{2x-1}{ax+2-a}$|，
∴h（x）=|$\frac{2x-1}{2x}$|=|1-$\frac{1}{2x}$|，

∵若存在实数m、n（m＜n），使得h（x）在区间[m，n]上的值域为[λm，λn]，
∴|1-$\frac{1}{2x}$|=λx，有2个不等根，
即k（x）=λx与h（x）至少有2个不同的交点，
从图可知：λ＞0，x＞0，
需有1-$\frac{1}{2x}$=λx有根，即2λx²-2x+1=0，△=4-8λ≥0，
即0$＜λ≤\frac{1}{2}$，
实数λ的取值范围：0$＜λ≤\frac{1}{2}$

点评 本题考查了函数的图象性质，运用不等式的性质，方程，构造函数图象性质求解复杂的问题，关键是把问题转化为能够容易画出图象的函数求解．