Question

（本小题满分12分）

已知关于x的二次函数f(x)＝ax²－4bx＋1.

(I)已知集合P＝{－1,1,2,3,4,5}，Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；

(II)在区域内随机任取一点(a，b)．求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．

Answer 1

(1)∵a∈P，∴a≠0.

∴函数f(x)＝ax²－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，

要使f(x)＝ax²－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，

当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.

若a＝1，则b＝－2，－1；

若a＝2，则b＝－2，－1,1；

若a＝3，则b＝－2，－1,1；

若a＝4，则b＝－2，－1,1,2；

若a＝5，则b＝－2，－1,1,2.

所求事件包含基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16.

∴所求事件的概率为＝.

(2)由条件知a>0，∴同(1)可知当且仅当2b≤a且a>0时，

函数f(x)＝ax²－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域

，为△OAB，所求事件构成区域为如图阴影部分．

由得交点D，

∴所求事件的概率为P＝＝.