题目内容
已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值与极小值的差．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极大值与极小值的差．
分析：（1）根据极值点是导函数对应方程的根，可知x=2为y′=0的根，结合导数的几何意义有k=y′|x=1，列出关于a，b的方程组，求解可得到y的解析式，令y′＞0和y′＜0，即可求得函数的单调区间；
（2）根据（1）可得y′=0的根，再结合单调性，即可得到函数的极大值与极小值，从而求得答案．
（2）根据（1）可得y′=0的根，再结合单调性，即可得到函数的极大值与极小值，从而求得答案．
解答：解：（1）∵函数y=x3+3ax2+3bx+c，
∴y'=3x2+6ax+3b，
∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，
∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|x=1=3+6a+3b=-3，②
联立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x3-3x2+c，则y'=3x2-6x，
令y'=3x2-6x＞0，解得x＜0或x＞2，
令y'=3x2-6x＜0，解得0＜x＜2，
∴函数的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；
（2）由（1）可知，y'=3x2-6x，
令y′=0，即3x2-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函数在（-∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c-4，
∴函数的极大值与极小值的差为c-（c-4）=4．
∴y'=3x2+6ax+3b，
∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，
∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|x=1=3+6a+3b=-3，②
联立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x3-3x2+c，则y'=3x2-6x，
令y'=3x2-6x＞0，解得x＜0或x＞2，
令y'=3x2-6x＜0，解得0＜x＜2，
∴函数的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；
（2）由（1）可知，y'=3x2-6x，
令y′=0，即3x2-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函数在（-∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c-4，
∴函数的极大值与极小值的差为c-（c-4）=4．
点评：本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．
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