Question

在宽8米的教室前面有一个长6米的黑板，学生区域CDFE距黑板最近1米，如图，在CE上寻找黑板AB的最大视角点P，AP交CD于Q，区域CPQ为教室黑板的盲区，求此区域面积为

4 7 -7

7

Answer 1

分析：设PC=x（x≥0），∠BPM=α，∠APM=β，∠BPA=θ（0＜θ＜

π

2

）则tanα=

7

x+1

，tanβ=

1

1+x

，而tanθ=tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

6

x+1+ 7 x+1

，结合函数f（x）=x+1+

7

x+1

，（x≥0）的单调性可求f（x）的最小值，从而可求tanθ最大也即θ最大值及相应的CP，在Rt△CPQ中，由tanβ=

CQ

CP

可得CQ=CP•tanβ可求CQ，代入三角形的面积公式S_△CPQ=

1

2

×CQ×CP可求

解答：解：设PC=x（x≥0），∠BPM=α，∠APM=β，∠BPA=θ（0＜θ＜

π

2

）
则tanα=

7

x+1

，tanβ=

1

1+x

tanθ=tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

7 x+1 - 1 x+1

1+ 7 x+1 • 1 x+1

=

6(x+1)

(x+1)2+7

=

6

x+1+ 7 x+1

令f（x）=x+1+

7

x+1

，（x≥0）则f（x）在[0，

7

-1]单调递减在，[

7

-1，+∞)单调递增
∴f(x)min=f(

7

-1)=2

7

，此时x+1=

7

x+1

即x=

7

-1时，函数f（x）有最小值，tanθ最大也即θ最大
∴Rt△CPQ中，由tanβ=

CQ

CP

可得CQ=CP•tanβ=(

7

-1)•

1

7

=

7- 7

7

∴S_△CPQ=

1

2

×CQ×CP=

1

2

×(

7

-1)×

7- 7

7

=

4 7 -7

7

故答案为

4 7- 7

7

点评：本题主要考查视角的知识，两角差的正切公式及利用函数f（x）=x+

k

x

（k＞0）的单调性求解函数的最值，属于综合性试题，两角差的正切公式及函数单调性的综合应用是解决本题的关键．