题目内容

若函数f（x）定义域内有两个任意实数x1，x2，满足f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）为凸函数，下列函数中是凸函数的为
 
．
①f（x）=3x+1，②f(x)=
1
x
x∈（-∞，0），③f（x）=x2-3x-2，④f（x）=-|x+1|
分析：由题意，直接代入计算
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)的值，判断是否恒大于0即可．
解答：解：①
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
3x1+1+3x2+1
2
-3
x1+x2
2
+1=0，不是凸函数；
②
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
1
x1
+
1
x2
2
-
1
x1 +x2
2
=
2(x1-x2) 2
(x1 +x2) x1x2
符号不确定，故不为凸函数
③
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
x12-3x1-2+x22-3x2-2
2
-(
x1+x2
2
)2+3
x1+x2
2
+2
=(
x1-x2
2
)2＞0，故为凸函数．
④
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
-|x1+1|-|x2+1|
2
+|
x1 +x2
2
+1|，
取x1=1，x2=2则上式为0，故不是凸函数．
故答案为：③
点评：本题为新定义问题，考查函数的解析式、对新定义的理解和计算．
练习册系列答案
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若函数f（x）定义域为R且f（x）=ex+x2-x+sinx，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是
y=x+1
y=x+1
．
（2012•贵阳模拟）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），则称g（x）为“对数V形函数”．
（1）当f（x）=x2时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；
（2）当g（x）=x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；
（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？证明你的结论．
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（-3，3）
（-3，3）
．
若函数f（x）定义域为R，且图象关于原点对称．当x＞0时，f（x）=x3-2．则函数f（x+2）的所有零点之和为
-6
-6
．

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