Question

4．设f（x）是R上的函数，满足|f（x）+cos²x|≤$\frac{3}{4}$，|f（x）-sin²x|≤$\frac{1}{4}$，则f（x）=$\frac{3}{4}$-cos²x．

Answer 1

分析 先解绝对值不等式得到：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}-co{s}^{2}x≤f（x）≤\frac{3}{4}-co{s}^{2}x}\\{-\frac{1}{4}+si{n}^{2}x≤f（x）≤\frac{1}{4}+si{n}^{2}x}\end{array}\right.$，通过求f（x）的范围，便可得到$-\frac{1}{4}+si{n}^{2}x≤f（x）≤\frac{3}{4}-co{s}^{2}x$，这样便可得到f（x）=$\frac{3}{4}-co{s}^{2}x$．

解答 解：根据条件：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}≤-\frac{3}{4}-co{s}^{2}x≤f（x）≤\frac{3}{4}-co{s}^{2}x≤\frac{3}{4}}\\{-\frac{1}{4}≤-\frac{1}{4}+si{n}^{2}x≤f（x）≤\frac{1}{4}+si{n}^{2}x≤\frac{5}{4}}\end{array}\right.$；
∴$-\frac{1}{4}+si{n}^{2}x≤f（x）≤\frac{3}{4}-co{s}^{2}x$；
∴$\frac{3}{4}-co{s}^{2}x≤f（x）≤\frac{3}{4}-co{s}^{2}x$；
∴$f（x）=\frac{3}{4}-co{s}^{2}x$．
故答案为：$\frac{3}{4}-co{s}^{2}x$．

点评 考查绝对值不等式的解法，sin²x+cos²x=1，以及sin²x，cos²x的取值范围．