Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限．
（Ⅰ）若

AF

=2

FB

，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）求三角形OAB面积的最小值（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量共线即可得出；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论、三角形的面积公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线y²=4x，∴焦点F（1，0）．
设直线AB方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB的方程与抛物线的方程联立

x=my+1 y2=4x

，消去x得y²-4my-4=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4． ①
∵

AF

=2

FB

，
∴y₁=-2y₂．          ②
联立①和②，消去y₁，y₂，得m=

2

4

．
∴直线AB的斜率是2

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2+16

=4

1+m2

．
∵S_△AOB=

1

2

|OF| |y1-y2|
∴S_△AOB=2

1+m2

，
∴m=0时，△OAB的面积最小，最小值是2．

点评：本题考查了直线与抛物线的相交问题，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系、向量共线、直线的斜率、三角形的面积公式是解题的关键．