Question

已知两个正数x，y满足x+y=4，则使不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立的实数m的范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意将x+y=4代入

1

x

+

4

y

进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．

解答：解：由题意知两个正数x，y满足x+y=4，
则

1

x

+

4

y

=

x+y

4x

+

x+y

y

=

5

4

+

y

4x

+

x

y

≥

5

4

+1=

9

4

，当

y

4x

=

x

y

时取等号；
∴

1

x

+

4

y

的最小值是

9

4

，
∵不等式

1

x

+

4

y

≥m恒成立，∴m≤

9

4

．
故答案为：m≤

9

4

．

点评：本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．