Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面PAB是正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E是PA的中点，AC与BD的交点为M．

（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求证：BE⊥平面AED．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结EM，∵四边形ABCD是矩形，∴M为AC的中点，

∵E是PA的中点，∴EM是△PAC的中位线，

∴EM∥PC，

∵EM平面EBD，PC不包含于平面EBD，

∴PC∥平面EBD

（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，

而AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，

∵BE平面PAB，∴AD⊥BE，

又∵△PAB是等边三角形，且E是PA的中点，

∴BE⊥AE，

又AE∩AD=A，

∴BE⊥平面AED

【解析】（1）连结EM，由三角形中位线定理能证明PC∥平面EBD．（2）由已知条件得AD⊥平面PAB，从而得到AD⊥BE，由等边三角形性质得BE⊥AE，由此能证明BE⊥平面AED．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．