题目内容
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB上,且AM=
,点P是平面ABCD上的动点,且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1,那么动点P的轨迹可能是以下
1 | 3 |
⑤
⑤
曲线.(填写序号)①直线;②圆;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线.分析:作PQ⊥AD,作QR⊥D1A1,PR即为点P到直线A1D1的距离,由勾股定理得 PR2-PQ2=RQ2=1,结合PR2-PM2=1,可得PM=PQ,即P到点M的距离等于P到AD的距离,由此可得结论.
解答:解:如图所示:正方体ABCD-A1B1C1D1 中,作PQ⊥AD,Q为垂足,则PQ⊥面ADD1A1,过点Q作QR⊥D1A1,则D1A1⊥面PQR,PR即为点P到直线A1D1的距离.
由题意可得PR2-PQ2=RQ2=1.
又已知PR2-PM2=1,∴PM=PQ,即P到点M的距离等于P到AD的距离,
根据抛物线的定义可得,点P的轨迹是抛物线,
故答案为:⑤
由题意可得PR2-PQ2=RQ2=1.
又已知PR2-PM2=1,∴PM=PQ,即P到点M的距离等于P到AD的距离,
根据抛物线的定义可得,点P的轨迹是抛物线,
故答案为:⑤
点评:本题考查抛物线的定义,考查立体几何中的轨迹问题,得到PM=PQ是解题的关键.
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