题目内容
已知函数在区间[-1,1),(1,3]内各有一个极值点.
(Ⅰ)求a2-4b的最大值;
(Ⅱ)当a2-4b=8时,设函数y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l,若在点A处穿过y=f(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y=f(x)运动,经过点A时,从l的一侧进入另一侧),求函数f(x)的表达式.
答案:
解析:
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(I)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个实根, 设两实根为(),则,且.于是 ,,且当,即,时等号成立.故的最大值是16. (II)解法一:由知在点处的切线的方程是 ,即, 因为切线在点处空过的图象, 所以在两边附近的函数值异号,则 不是的极值点. 而,且 . 若,则和都是的极值点. 所以,即,又由,得,故. 解法二:同解法一得 . 因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在(). 当时,,当时,; 或当时,,当时,. 设,则 当时,,当时,; 或当时,,当时,. 由知是的一个极值点,则, 所以,又由,得,故. |
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