题目内容

已知函数在区间[-1,1),(1,3]内各有一个极值点.

(Ⅰ)求a2-4b的最大值;

(Ⅱ)当a2-4b=8时,设函数y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l,若在点A处穿过y=f(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y=f(x)运动,经过点A时,从l的一侧进入另一侧),求函数f(x)的表达式.

答案:
解析:

  (I)因为函数在区间内分别有一个极值点,所以内分别有一个实根,

  设两实根为(),则,且.于是

  ,且当,即时等号成立.故的最大值是16.

  (II)解法一:由在点处的切线的方程是

  ,即

  因为切线在点处空过的图象,

  所以两边附近的函数值异号,则

  不是的极值点.

  而,且

  

  若,则都是的极值点.

  所以,即,又由,得,故

  解法二:同解法一得

  

  因为切线在点处穿过的图象,所以两边附近的函数值异号,于是存在().

  当时,,当时,

  或当时,,当时,

  设,则

  当时,,当时,

  或当时,,当时,

  由的一个极值点,则

  所以,又由,得,故


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