Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab（a≠0），当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，
（Ⅰ）若-

1

3

f(x)+c≥0在R上恒成立，求C的取值范围．
（Ⅱ）解关于x的不等式

f(x)

-3x+6

＞

kx-6+k

x-2

 (k＞-1)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，可知f（x）=0的两个根为-3与2，根据根与系数的关系，求出f（x）的解析式，代入-

1

3

f(x)+c≥0在R上恒成立，将其转化为x²+x-6+c≥0在R上恒成立，从而进行求解；
（Ⅱ）对不等式进行等价转化，进行因式分解，讨论k的取值范围，进行求解；

解答：解：（Ⅰ）由题意可知：f（x）=0的两个根为-3与2，
∴

-3+2=- b-8 a -3×2=- a(1+b) a

，∴

a=-3 b=5

，
∴f（x）=-3x²-3x+18
由-

1

3

f（x）+c≥0在R上恒成立，
∴x²+x-6+c≥0在R上恒成立，
∴△=1-4（c-6）≤0，解得c≥

25

4

；
（Ⅱ）不等式

f(x)

-3x+6

＞

kx-6+k

x-2

 (k＞-1)．

-3(x2+x-6)

-3(x-2)

＞

kx-6+k

x-2

∴

x2+x-kx-k

x-2

＞0
∴（x+1）（x-k）（x-2）＞0，
∴当k∈（-1，2）时，x∈（-1，k）∪（2，+∞）
当k=2，x∈（-1，2）∪（2，+∞）；
当k∈（2，+∞）时，x∈（-1，2）∪（k，+∞）；

点评：此题考查函数的恒成立问题，以及分类讨论的思想，这是高考中长考的热点问题，本题综合性大，考查的知识点比较多，计算量也比较大，是一道难题；