题目内容
请先阅读：在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明：
．（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）
；（ii）
；（iii）
．
【答案】分析：（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．
（2）（i）对（1）中的x 赋值-1，整理得到恒等式．
（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值-1化简即得证．
（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．
解答：证明：（1）在等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn两边对x求导得n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x++（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1
移项得
（*）
（2）（i）在（*）式中，令x=-1，整理得
所以
（ii）由（1）知n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1，n≥3
两边对x求导，得n（n-1）（1+x）n-2=2Cn2+3•2Cn3x+…+n（n-1）Cnnxn-2
在上式中，令x=-1，得0=2Cn2+3•2Cn3（-1）+…+n（n-1）Cn2（-1）n-2
即
，
亦即
（1）
又由（i）知
（2）
由（1）+（2）得
（iii）将等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn两边在[0，1]上对x积分
由微积分基本定理，得
所以
点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．
（2）（i）对（1）中的x 赋值-1，整理得到恒等式．
（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值-1化简即得证．
（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．
解答：证明：（1）在等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn两边对x求导得n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x++（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1
移项得
（*）（2）（i）在（*）式中，令x=-1，整理得
所以
（ii）由（1）知n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x+…+（n-1）Cnn-1xn-2+nCnnxn-1，n≥3
两边对x求导，得n（n-1）（1+x）n-2=2Cn2+3•2Cn3x+…+n（n-1）Cnnxn-2
在上式中，令x=-1，得0=2Cn2+3•2Cn3（-1）+…+n（n-1）Cn2（-1）n-2
即
，亦即
（1）又由（i）知
（2）由（1）+（2）得
（iii）将等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn两边在[0，1]上对x积分
由微积分基本定理，得
所以
点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．
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（
）的两边求导，得：
，
，化简得等式：
。
（
），证明：
。
，求证：
； （ii）
； （iii）
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）的两边求导，得：
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），证明：
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； （ii）
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）的两边求导，得：
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，化简得等式：
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（
），证明：
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，求证：
； （ii）
； （iii）
。
（
）的两边求导，得：
，由求导法则，得
，化简得等式：
．
（
），证明：
＝
．
，求证：（i）
＝0；
＝0；
．