Question

请先阅读：
在等式cos2x=2cos²x-1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos²x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ（x∈R，正整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=

n

k=2

k

C

k n

xk-1．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）

n

k=1

(-1)kk

C

k n

=0；
（ii）

n

k=1

(-1)kk2

C

k n

=0；
（iii）

n

k=1

1

k+1

C

k n

=

2n+1-1

n+1

．

Answer 1

分析：（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．
（2）（i）对（1）中的x 赋值-1，整理得到恒等式．
（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值-1化简即得证．
（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．

解答：证明：（1）在等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ两边对x求导得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1
移项得n[(1+x)n-1-1]=

n

k=2

k

C

k n

xk-1（*）
（2）（i）在（*）式中，令x=-1，整理得

n

k=1

(-1)k-1k

C

k n

=0
所以

n

k=1

(-1)kk

C

k n

=0
（ii）由（1）知n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，n≥3
两边对x求导，得n（n-1）（1+x）^n-2=2C_n²+3•2C_n³x+…+n（n-1）C_nⁿx^n-2
在上式中，令x=-1，得0=2C_n²+3•2C_n³（-1）+…+n（n-1）C_n²（-1）^n-2
即

n

k=2

k(k-1)

C

k n

(-1)k-2=0，
亦即

n

k=2

(-1)k(k2-k)

C

k n

=0（1）
又由（i）知

n

k=1

(-1)kk

C

k n

=0（2）
由（1）+（2）得

n

k=1

(-1)kk2

C

k n

=0
（iii）将等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ两边在[0，1]上对x积分

∫

1 0

(1+x)ndx=

∫

1 0

(

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn)dx
由微积分基本定理，得

1

n+1

(1+x)n+1|

1 0

=(

n

k=0

1

k+1

C

k n

xk+1)|

1 0

所以

n

k=0

1

k+1

C

k n

=

2n+1-1

n+1

点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．