题目内容

如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB上的任一点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，则△BDF的面积S的最大值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：由三角形ABC的面积为1且 $\text{[math]}$ 可求三角形ADE的面积，再由△DMB∽△DEA可得 $\text{[math]}$ 从而有 $\text{[math]}$ ，求出三角形DEF的面积之后，利用基本不等式可求面积的最大值
解答：分别过B，A作BM⊥DE，AN⊥DE，垂足分别为M，N，设MB=h₁，AN=h₂
则 $\text{[math]}$
∴S_△ADE=λ₁λ₂S_△ABC=λ₁λ₂
∵△DMB∽△DEA
∴ $\text{[math]}$
从而有 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当且仅当 $\text{[math]}$ 取等号
故选：D

点评：本题以向量的共线为切入点，利用向量的共线转化为线段的长度关系，解决本题的关键是根据三角形的面积公式先求出三角形ADE的面积；关键二是把所求的三角形的面积与三角形ADE的面积之间通过三角形的像似建立联系．本题是一道构思非常巧妙的试题，要求考试不但要熟练掌握基础知识，更要具备综合解决问题的能力．

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